2. Основные структуры

2.2. Операции с множествами

1. Объединение множеств $A$ и $B$. Множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$. Обозначается $C=A\bigcup B$.

2. Пересечение множеств $A$ и $B$. Множество, состоящее из общих элементов множеств $A$ и $B$. Обозначается $C=A\bigcap B$.

3. Обычно предполагается, что все множества являются подмножествами более широкого множества $ \mathbb{Z}$ (например, отрезки на вещестенной оси являются подмножествами вещественной оси). В связи с этим вводится еще одна операция с множествами. Пусть $A \subset \mathbb{Z}$, тогда $\overline{A}$ - множество, содержащее те и только те элементы $ \mathbb{Z}$, которые не являются элементами $A$. $\overline{A}$ называют дополнением $A$.

Эти операции обладают набором свойств, которые нетрудно проверить. Приведем здесь некоторые из них.

1. $A\bigcup A=A, \quad A\bigcap A=A$.

2. $(A\bigcup B)\bigcap C=(A\bigcap C)\bigcup(B\bigcap C)$.

3. $A\bigcup (B\bigcap C)=(A\bigcup B)\bigcap(A\bigcup C).$

Для того, чтобы сравнивать множества по числу элементов, вводится понятие эквивалентности.

Определение. Если каждому элементу множества $A$ поставлен в соответствие единственный элемент множества $B$, причем каждому элементу $B$ соответствует единственный элемент множества $A$, то говорят, что между $A$ и $B$ установлено взаимно-однозначное соответствие. При этом множества $A$ и $B$ называют эквивалентными.

Примеры

Определение. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Примеры

Теорема Кантора. Множество точек отрезка $\left[0,1\right]$ несчетно.

Замечание. В основном в дальнейшем речь пойдет о подмножествах вещественной оси, которую мы в дальнейшем обозначаем $ \mathbb{R}$. Мы не будем излагать строгую теорию вещественных чисел. Такую теорию можно найти в более продвинутых учебниках, например, в учебнике анализа Фихтенгольца. Для нас будет достаточно "школьное" представление вещественных чисел как точек оси (вещественной оси) или как чисел, представимых десятичными дробями (возможно, с бесконечной мантиссой). При этом мы будем использовать такие "интуитивно ясные" свойства вещественной оси, как ее "плотность", "непрерывность" и т.д.